2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제5회 문제집+해설집 (중상 (응용 심화))

지수법칙에 의하여 $\left(\sqrt[n]{3^{9}}\right)^2 = \left(3^{\frac{9}{n}}\right)^2 = 3^{\frac{18}{n}}$이다.

$3^{\frac{18}{n}}$이 자연수가 되려면 지수 $\dfrac{18}{n}$이 자연수여야 하므로, $n \; (n \ge 2)$은 $18$의 약수여야 한다.
따라서 가능한 $n$의 값은 $2, 3, 6, 9, 18$로 총 $5$개이다.

조건을 만족하는 모든 자연수 $n$의 합은 $2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 38$이다.

진수는 양수여야 하므로 $x - 2 > 0$이고 $x - 4 > 0$에서 $x > 4$이다.

$\log_2\{(x - 2)(x - 4)\} \le \log_2 8$에서 밑 $2 > 1$이므로
$$(x - 2)(x - 4) \le 8 \implies (x - 0)(x - 6) \le 0 \implies 0 \le x \le 6$$

진수 조건 $x > 4$과 연립하면 $4 < x \le 6$이므로 정수 $x$는 5, 6이고, 그 합은 $11$이다.

$\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$이고 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$이므로
$$f(x) = 2(1 - \cos^2 x) - 4\cos x + 3 = -2\cos^2 x - 4\cos x + 5$$
$\cos x = t \; (-1 \le t \le 1)$로 치환하면 $g(t) = -2(t + 1)^2 + 7$이다.

구간 $[-1, 1]$에서 $g(t)$는 감소하므로
• $t = \cos x = -1 \implies x = \pi$일 때 최댓값 $M = g(-1) = 7$ ($\alpha = \pi$)
• $t = \cos x = 1 \implies x = 0$일 때 최솟값 $m = g(1) = -1$ ($\beta = 0$)

사인법칙에 의하여 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $30$이므로 $a = 6, \; b = 10, \; c = 14$이다.

$$\begin{aligned} \cos C &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{36 + 100 - 196}{2 \times 6 \times 10} \\ &= -\frac{1}{2} \implies \angle C=\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{c}{\sin C} &= 2R \\ &\implies 2R = \frac{14}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{28}{\sqrt{3}} \\ &\implies R = \frac{14\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

$n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 3n) - \{(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 2n + 2$이고, $a_1 = S_1 = 4$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2(n + 1)$이다.

$$\frac{4}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}$$
따라서 구하는 합은 $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{11} = \dfrac{9}{22}$이다.

조건 (가)에서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이고, 조건 (나)에서 $f(1) = 0$이므로 $f(x) = 2(x - 1)(x - k)$ (단, $k$는 상수)로 놓을 수 있다.

$$\lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1)(x - k)}{x - 1} = 2(1 - k) = 8 \implies 1 - k = 4 \implies k = -3$$
따라서 $f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$이므로 $f(2) = 2 \times 1 \times 5 = 10$이다.

$f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하면 연속이므로 $\lim\limits_{x \to 1-} f(x) = f(1)$에서
$$b + c = 1 + 2 = 3$$

$x > 1$에서 $f'(x) = 3x^2 + 4x$, $x < 1$에서 $f'(x) = b$이므로
$$b = 3(1)^2 + 4(1) = 7, \quad c = 3 - 7 = -4$$

삼차함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 $x$에 대하여
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 12 \ge 0$$
이 성립해야 한다.

이차방정식 $f'(x) = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$$\frac{D}{4} = a^2 - 3 \times 12 = a^2 - 36 = (a + 6)(a - 6) \le 0 \implies -6 \le a \le 6$$
따라서 정수 $a$의 개수는 $6 - (-6) + 1 = 13$개이다.

$f(x) = x^3 - 12x$라 하면 $f'(x) = 3(x + 2)(x - 2) = 0$에서
극댓값은 $f(-2) = 16$이고, 극솟값은 $f(2) = -16$이다.

곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 극솟값보다 크고 극댓값보다 작아야 하므로
$$-16 < k < 16$$
따라서 정수 $k$의 개수는 $2 \times 16 - 1 = 31$개이다.

주어진 등식의 양변에 $x = 2$을 대입하면 좌변은 $0$이므로
$$2^3 - 3(2)^2 + 2k = 0 \implies 2k = 4 \implies k = 2$$

양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + (2)$이므로
$$f(3) = 3(3)^2 - 6(3) + (2) = 11$$